文摘精选《数学中的真与美》

感谢初兰发布文摘精选《数学中的真与美》，内容如下：

我们现在来看另外一个例子，来解释数理与人文共通的地方：文学家和科学家都想构造一个完美的图画，但每个作者有不同的手法。

在汉朝，中国数学家已经开始研究如何去解方程式，包括计算立方根；到宋朝时，已经可以解多次方程，比西方早几百年，但解决的方法是数字解，对方程的结构没有深入的了解。

一个最简单的问题就是解二次方程：

x^2 + 1 = 0

这个方程没有实数解，事实上，无论 x 是任何实数，方程的左边总是大于零，所以这个方程式没有实数的解，因此中国古代数学家不去讨论这个方程式。

大约在四百多年前，西方数学家开始注意这个方程，文艺复兴后的意大利数学家发现它跟解三次和四次方程有关。他们知道上述二次方程没有实数解，就假设它还是有解，将这个想象中的解叫做虚数。

虚数的发现，可了不起得很！它可以媲美轮子的发现。有了虚数后，西方学者发现所有多项式方程都有解，而且解的数目刚好是多项式的次数。所以有了虚数后，多项式的理论才成为完美的理论。完美的数学理论很快就得到无穷的应用。

事实上，其后物理学家和工程学家发现虚数是用来解释所有波动现象最佳的方法，这包括音乐、流体和量子力学里面波动力学的种种现象。数论研究的重要部分是整数，但为了研究整数，我们不能避免地要大量用到复数的理论来帮忙。在 19 世纪初叶，柯西和黎曼开始了复变函数的研究，将我们的眼界由一维推广到二维，改变了现代数学的发展。

黎曼又引入了 Zeta 函数，发现了复函数的解析性质可以给出整数中的质数的基本性质。另一方面，他也因此开发了高维拓扑这个学科。

由于复数的成功，数学家企图将它推广，制造新的数域，很快就发现除非放弃一些条件，否则那是不可能的。但是哈密尔顿和凯利先生却在放弃复数域中某些性质后，引进四元数和八元数这两个新的数域。

这些新的数域影响了狄拉克在量子力学的构想，创造了狄拉克方程。从这里可以看到数学家和物理学家为了追求完美化而得到重要的结果。

其实物理学上很多伟大的发现，是伟大的科学家通过一些思考的实验和他们深入的洞察力得到的。

爱因斯坦创造广义相对论时，人类观察到的宇宙空间实在不大，他却得到数学家的大力帮助。

在爱因斯坦完成广义相对论后，魏尔和很多科学家开始融合引力场理论和电磁场理论，魏尔率先提出规范场的理论，经过十年的挣扎，才将麦克斯韦的电磁理论看作和广义相对论类似的规范场论，在物理学上，这是一个伟大的突破。

有趣的是，魏尔说：“假如理论和见到的现象界有冲突，而这个理论漂亮而简洁的时候，我宁愿相信理论。”这个看法对规范场理论的发展，有很大的帮助！

在这里，我们看到文学家和科学家类似的地方。狄拉克在完成他的方程后，他说他的方程比他自己更有深度，因为它优美地描述了基本粒子的性质，并在实验室中得到证明，有些性质是狄拉克在创造这个方程前没有办法想象的。这是科学创新中产生的一个奇妙的现象，我们用以了解真理的工具往往会带领我们向前，不断地向前摸索！

将一个问题或现象完美化，然后将完美化后的结果应用到新的数学理论，来解释新的现象，这是数学家的惯用手法，这与文学家有很多相似的地方，只不过文学家用这种手法来表达他们的感情罢了。

举例来说，在中国古代有很多传说，很多是凭想象，将得到的一些知识，循当时作者或当政者的需要而完成一些着作，所以我们看到东汉刘向父子作伪经，也看到《山海经》的写作，夸大地描述很多无法证明的事件。

中国诗词也有不少的例子。例如，李商隐和李白就创作了“锦瑟无端五十弦”和“白发三千丈”这两句夸大的诗句。在明清的传奇小说里，这种写法更加流行，《西游记》里面描述的很多事情只有很少部分是事实，《三国演义》里孔明借东风的事是作者为了夸大诸葛亮的能力而写出来的。

文学家为了欣赏现象或者舒解情怀而夸大而完美化，但数学家却为了了解现象而构建完美的背景。我们在现象界可能看不到数学家虚拟结构的背景，但正如数学家创造虚数的过程一样，这些虚拟的背景却有能力来解释自然界的奇妙现象。在数学家的眼中，这些虚拟背景，往往在现象界中呼之欲出。对很多数学家来说，虚数和圆球的观念都可以看作自然界的一部分。

现在粒子物理学里面有一个成功的理论叫做夸克理论，它和虚数理论有异曲同工之妙，人们从来没有看见过夸克，但是我们感觉到它的存在。

有些时候，数学家利用几千页纸的理论来将一些模糊不清的具体现象用极度抽象的方法去统一、去描述、去解释。这是数学家追求完美化的极致，值得惊奇的是，这些抽象的方法居然可以解决一些极为重要的具体问题，最出名的例子就是格罗滕迪克在韦伊猜想上的伟大工作。

物理学家在上世纪 70 年代引进的超对称也是将对称的观念极度推广，我们虽然在实验室还没有见到超对称的现象，但它已经引发了很多重要的物理和数学上的思维。

近代数学家在数学不同的分支取得巨大的成果，与文学家的手段极为类似。所以我说好的数学家最好有人文的训练，从变化多姿的人生和大自然界得到灵感来将我们的科学和数学完美化，而不是禁锢自己的脚步和眼光，只跟着前人的着作，做小量的改进，就以为自己是一个大学者。

本文地址：http://www.gushizhe.com/wenzhai/16868.html，转载请注明出处。